SELAMAT DATANG di blog SOLUSI SAIN, blognya Pencinta Sain

Blog ini dibuat untuk membantu siswa-siswi yang mengalami masalah dalam pembelajaran MAFIKI.
Juga sarana silaturrahmi para Pencinta Sain. Pengunjung juga dapat diskusi di grup fb: SUKSES SAIN

Kamis, 28 Juli 2011

Soal Integral 1

Contoh 1:
∫ {(3x³ – 4x² + 3x) /(x² + 1)} dx = ….

Jawab:

=\int\frac{3x^{3}-4x^{2}+3x}{x^{2}+1}dx
=\int\frac{3x(x^{2}+1)-4x^{2}}{x^{2}+1}dx
=\int 3xdx-\int\frac{4x^{2}}{x^{2}+1}dx
=\frac{3x^{2}}{2}-\int\frac{4x^{2}}{x^{2}+1}dx
=\frac{3}{2} x^2-4\int\frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx
=\frac{3}{2} x^2-4\int\left(1-\frac{1}{x^{2}+1}\right)dx
=\frac{3}{2} x^2-4\int dx+4\int\frac{1}{x^{2}+1}dx
=\frac{3}{2} x^2-4x+4tan^{-1}x+C

Contoh 2:
  ∫ √(1 + sin x) dx = ....
 

Jawab:
∫ √(1 + sin x) dx
= ∫ √{1 + cos (½π - x} dx
= ∫ √{1 + cos (½π - x)} dx
= ∫ √{2 cos² (¼π - ½x)} dx
= √2 ∫ cos (¼π - ½x)} dx
= -2√2 sin (¼π - ½x) + c.


Contoh 3:  
Hasil dari ∫ 8x² cos 2x dx = ….

Jawab:
∫ 8x² cos 2x dx
u = 8x² ⇒ du = 16x dx
dv = cos 2x dx ⇒ v = cos 2x dx = ½ sin 2x


∫ 8x² cos 2x dx;   RUMUS: ∫ u dv = uv ∫ v du
= 8x²½ sin 2x ½sin 2x 16x dx
=  4 sin 2x 8 ∫ xsin 2x dx

∫ x sin 2x dx = ....
u = x ⇒ du = dx
dv = sin 2x dx ⇒ v = sin 2x dx = ½cos 2x

∫ xsin 2x dx
= x (½ cos 2x) ½cos 2x dx
= –½x ∙ cos 2x + ¼ ∙ sin 2x + c


4sin 2x 8 ∫ x sin 2x dx
= 4sin 2x 8(–½x ∙ cos 2x + ¼ ∙ sin 2x) + c
= 4sin 2x + 4x ∙ cos 2x – 2 ∙ sin 2x + c


Dapat pula menggunakan cara Tanzalin sebagai berikut:


8x² (turunkan)  | cos 2x (integralkan)
16x |  ½sin 2x
16  |   ¼cos 2x
0  |  ∙sin 2x

∫ 8x² cos 2x dx
= 8x²(½sin 2x) 16x(¼cos 2x) + 16(– ∙ sin 2x)
= 4sin 2x + 4x ∙ cos 2x – 2 ∙ sin 2x + c

Cara Tanzalin ini bukanlah cara cepat.
Cara cepat yang sesungguhnya hanya dapat diperoleh di NICEinstitute.

Contoh 4: 
∫ 4x³ (2x 4)⁵ dx = ….

Jawab:
∫ 4x³ (2x - 4)⁵ dx
u = 4x³ ⇒ du = 12x² dx
dv = (2x 4)⁵ dx ⇒ v = (2x 4)⁵ dx = (1/12)(2x 4) + c

∫ 4x³ (2x 4)⁵ dx
= 4x³(1/12)(2x 4)(1/12)(2x 4)12x² dx
= (2x 4) x² (2x 4) dx

x² (2x 4) dx
u = x² ⇒ du = 2x dx
dv = (2x 4) dx ⇒ v = (2x 4) dx = (1/14)(2x 4)⁷ + c

x² (2x 4) dx
= x²(1/14)(2x 4)(1/14)(2x 4)2x dx
= (1/14)x²(2x 4)(1/7)x (2x 4) dx

x (2x 4) dx
u = x ⇒ du = dx
dv = (2x 4) dx ⇒ v = (2x 4) dx = (1/16)(2x 4)⁸ + c
 x (2x 4) dx
= x(1/16)(2x 4)(1/16)(2x 4) dx
= (1/16)x(2x 4)(1/16) (2x 4) dx
= (1/16)x(2x 4)(1/16)(1/18)(2x 4)
= (1/16)x(2x 4)(1/288)(2x 4) 

∫ 4x³ (2x 4)⁵ dx
= 4x³(1/12)(2x 4)(1/12)(2x 4)12x² dx
= (2x 4)x² (2x 4) dx

= (2x 4){(1/14)x²(2x 4)(1/7)x (2x 4) dx}
= (2x 4)(1/14)x²(2x 4)+ (1/7)x (2x 4) dx
= (2x 4)(1/14)x²(2x 4)+ (1/7){(1/16)x(2x 4)(1/288)(2x 4)}= (2x 4)(1/14)x²(2x 4)+ (1/112)x(2x 4)(1/2016)(2x 4) + c

Dapat pula menggunakan cara Tanzalin sebagai berikut:

4x³ (turunkan)  | (2x 4)⁵ (integralkan)
12x²  |  (1/12)(2x 4)
24x  (1/12)(1/14)(2x 4)
24  (1/12)(1/14)(1/16)(2x 4)
0  |  (1/12)(1/14)(1/16)(1/18)(2x 4)

∫ 4x³ (2x 4)⁵ dx
= 4x³(1/12)(2x 4)12x²(1/12)(1/14)(2x 4)⁷ + 24x (1/12)(1/14)(1/16)(2x 4)
   – 24(1/12)(1/14)(1/16)(1/18)(2x 4)⁹ + c
= (2x 4)(1/14)x²(2x 4)+ (1/112)x(2x 4)(1/2016)(2x 4) + c


Cara Tanzalin ini bukanlah cara cepat.
Cara cepat yang sesungguhnya hanya dapat diperoleh di NICEinstitute.




Tidak ada komentar:

Posting Komentar