SELAMAT DATANG di blog SOLUSI SAIN, blognya Pencinta Sain

Blog ini dibuat untuk membantu siswa-siswi yang mengalami masalah dalam pembelajaran MAFIKI.
Juga sarana silaturrahmi para Pencinta Sain. Pengunjung juga dapat diskusi di grup fb: SUKSES SAIN

Senin, 25 Juli 2011

Soal Olimpiade Matematika

1. OSK 2005
Titik A(a, b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya
titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah ....

Jawab:
Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah x² + y² = 25
Karena 0² + 5² = 32 + 42 = 25 maka pasangan (x, y) bulat yang memenuhi ada 12, yaitu (0, 5), (0, −5), (5, 0), (−5, 0), (3, 4), (3, −4), (−3, 4), (−3, −4), (4, 3), (4, −3), (−4, 3), dan (−4, −3).
Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 ada 12.

2. AIME 1991
m, n adalah bilangan asli yang memenuhi mn + m + n = 71 dan m²n + mn² = 880
tentukan m² + n².

Jawab:
mn + m + n = 71
m²n + mn² = 880 sehingga mn(m + n) = 880
 
mn + 880/mn = 71
(mn)² - 71mn + 880 = 0
(mn - 16)(mn - 55) = 0
mn = 16 atau mn = 55
Jika mn = 16 maka m + n = 55 


Nilai (m, n) yang memenuhi mn = 16 adalah (1, 16), (2, 8). (4, 4), (8,2), dan (16, 1), tetapi tidak ada m + n = 55 yang memenuhi.
Nilai (m, n) yang memenuhi mn = 55 adalah (1, 55), (5, 11), (11, 5), dan (55, 1), dan (m, n) yang memenuhi m + n = 16 adalah  (5, 11) dan (11, 5).
Jadi, m² + n² = 5² + 11² = 146


3. Canadian MO 1980
Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.


Jawab:
72 = 9⋅8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.
Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3.
Jadi bilangan tersebut adalah 36792.



4. Hitunglah tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ tanpa menggunakan kalkulator.


Jawab: 

tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ = {sin 10˚ (sin 50˚ sin 70˚)} / {cos 10˚ (cos 50˚ cos 70˚)}
tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ = {sin 10˚ (2 cos 20˚ + 1)} / {cos 10˚ (2 cos 20˚ - 1)}
tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ = (2 sin 10˚ cos 20˚ + sin 10˚) / (2 cos 10˚ cos 20˚ - cos 10˚)
tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ = (sin 30˚ - sin 10˚ + sin 10˚) / (cos 30˚ + cos 10˚ - cos 10˚)
tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ = tan 30˚ = √3
Jadi, tan 10˚ tan 50˚ tan 70˚ = √3

Tidak ada komentar:

Posting Komentar